Question

已知⊙M：x²+y²-4x-8y+16=0，直线l：（1+λ）x+（1-λ）y-6=0（λ∈R）．
（Ⅰ）求证：对任意λ∈R，都有直线l与⊙M相交；
（Ⅱ）当λ=2时，求直线l被⊙M截得的弦长；
（Ⅲ）已知点N（3，1），在⊙M内（包括圆周）任取一点P，记事件K为“点P与点N（3，1）所确定的直线到点M的距离不大于1”，求事件K发生的概率．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,几何概型

专题：综合题,直线与圆,概率与统计

分析：（Ⅰ）直线l：（1+λ）x+（1-λ）y-6=0可化为（x+y-6）+λ（x-y）=0，可得

x+y-6=0 x-y=0

，即可得出结论；
（Ⅱ）当λ=2时，求出圆心M到直线l的距离，即可求直线l被⊙M截得的弦长；
（Ⅲ）求出S_弓形AB=S_弓形CD=

4π

3

-

1

2

×2×2sin

2π

3

=

4π

3

-

3

，S_{曲多边形ABDC}=4π-2（

4π

3

-

3

）=

4π

3

+2

3

，由题意，P落在曲多边形ABDC内（包括边界）时满足题意，即可求出事件K发生的概率．

解答： （Ⅰ）证明：直线l：（1+λ）x+（1-λ）y-6=0可化为（x+y-6）+λ（x-y）=0，
∴

x+y-6=0 x-y=0

，∴x=y=3，
（3，3）代入x²+y²-4x-8y+16=9+9-36-24+16=-46＜0
∴对任意λ∈R，都有直线l与⊙M相交；
（Ⅱ）解：⊙M：x²+y²-4x-8y+16=0，可化为（x-2）²+（y-4）²=4，圆心M（2，4），半径为2
当λ=2时，直线l：3x-y-6=0，
圆心M到直线l的距离d=

|3×2-4-6|

9+1

=

2 10

5

，
∴直线l被⊙M截得的弦长为2

22-( 2 10 5 )2

=

4 15

5

；
（Ⅲ）解：点N（3，1）在⊙M外，设过点N且与圆心的距离为1的两条直线NB和ND与⊙M分别交于A、B和C、D，

由于|MA|=|MB|=|MC|=|MD|=2，∴△MAB△MCD，∠AMB=∠CMD=

2π

3

，
∴S_弓形AB=S_弓形CD=

4π

3

-

1

2

×2×2sin

2π

3

=

4π

3

-

3

，
∴S_{曲多边形ABDC}=4π-2（

4π

3

-

3

）=

4π

3

+2

3

，
由题意，P落在曲多边形ABDC内（包括边界）时满足题意，事件K发生的概率为（

4π

3

+2

3

）÷4π=

4π+6 3

12π

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查几何概型，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．