Question

已知函数f（x）=log₃[（5+k）x²+6x+k+5]．
（1）若函数f（x）的定义域为R，求k的取值范围；
（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）依题意，令g（x）=（5+k）x²+6x+k+5，利用g（x）＞0恒成立即可求得实数k的取值范围．
（2）根据函数的值域为R，则对数的真数的取值为（0，+∞），由此可得k满足的条件．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₃[（5+k）x²+6x+k+5]的定义域为R，
令g（x）=（5+k）x²+6x+k+5，
则g（x）＞0恒成立，
当k=-5时，g（x）=6x＞0不恒成立．
当k≠-5时，

5+k＞0 △=36-4(k+5)2＜0

，
解得k＞-2
综上所述k的取值范围（-2，+∞）
（2）∵函数f（x）的值域为R，
∴

5+k＞0 △=36-4(k+5)2≥0

解得-5＜k≤-2
∴k的取值范围是（-5，-2]．

点评：本题考查函数恒成立问题，对数函数的值域及二次函数的值域，考查△的应用，属于中档题．