Question

20．已知函数f（x）=log₂（x+$\frac{1}{4x-4}$）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的最小值及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）题中函数为对数函数，所以真数须为正数，真数中含有分式须分母不为0，满足这两个条件即可；
（2）函数为底数大于1的对数含数，可知函数在定义域内为增函数，其真数最小时函数值最小，问题转化为求真数的最小值，通过观察发现其符合均值不等式的条件，所以可以利用均值不等式求出真数最小值，从而求出对数最小值．

解答 解：（1）根据对数函数及分式定义有$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{4x-4}＞0}\\{4x-4≠0}\end{array}\right.$，解得x＞1，故：其定义域为（1，+∞）；
（2）设$t=x+\frac{1}{4x-4}$（x＞1），则t＞0，
函数f_（t）=log₂t在定义域内为单调增函数，所以当t取最小值时函数值最小，
即$t=x+\frac{1}{4x-4}=x-1+\frac{1}{4（x-1）}+1$$≥2×\sqrt{（x-1）\frac{1}{4（x-1）}}+1$=$2×\sqrt{\frac{1}{4}}+1=2$，
当且仅当$x-1=\frac{1}{4（x-1）}$$；\\;\\;≥2×\sqrt{（x-1）\frac{1}{4（x-1）}}+1$等号成立，此时$x=\frac{3}{2}$；
当t=2时有最小值f（2）=log₂2=1，
故：当$x=\frac{3}{2}$时f（x）有最小值为1．
$；\\;=2!×\sqrt{\frac{1}{4}}+1=2$

点评 本题的难点在于联想到均值不等式内容，将问题进行转换和简化；当然还可以应用导数的方法进行研究，注意复合函数导数的求解．