Question

10．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（　　）

• A． 28π
• B． $\frac{{28\sqrt{7}π}}{3}$
• C． 32π
• D． $\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$

Answer 1

分析 三棱柱ABE-DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6-x，s_△DCF=$\frac{1}{2}×FC×CD$=$\frac{1}{2}x\sqrt{（6-x）^{2}-{x}^{2}}=\frac{1}{2}x•\sqrt{36-12x}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{36{x}^{2}-12{x}^{3}}$．令f（x）=36x²-12x³，f′（x）=72x-36x²，令f（x）=0，可得x=2，即当x=2时，
s_△DCF最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可．

解答 解：



将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE-DCF，（如图）
三棱柱ABE-DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，FC⊥CD
三棱柱ABE-DCF的底面积最大时，其体积最大．
设FC=x，DCF=6-x，s_△DCF=$\frac{1}{2}×FC×CD$=$\frac{1}{2}x\sqrt{（6-x）^{2}-{x}^{2}}=\frac{1}{2}x•\sqrt{36-12x}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{36{x}^{2}-12{x}^{3}}$．
令f（x）=36x²-12x³，f′（x）=72x-36x²，令f（x）=0，可得x=2
∴当x=2时，s_△DCF最大
 此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半
球半径R=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，∴几何体外接球的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{64\sqrt{2}}{3}π$，
故选：D．

点评 本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题．