Question

已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）证明：当x＞1时，f（x）＜0；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的x、y∈（0，+∞），f（x²+y²）≤f（a）+f（xy）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，先令令x=y=1，得到f（1）=0，再令令y=

1

x

，得到f（x）=-f（

1

x

），继而得以证明，
（2）利用定义法证明即可，
（3）由（2）函数为减函数得到x²+y²≥axy，再利用基本不等式求出a的范围．

解答： 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
所以f（1）=0，
再令y=

1

x

，
则f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
当x＞1时，0＜

1

x

＜1．
∵f（

1

x

）＞0．
∴f（x）=-f（

1

x

）＜0
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）
∵x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，则f（

x2

x1

）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，
（3）f（x²+y²）≤f（a）+f（xy）恒成立，
∴f（x²+y²）≤f（axy）恒成立，
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴x²+y²≥axy，
∴0＜a≤

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

≥2，当且仅当x=y取等号，
∴实数a的取值范围（0，2]

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据抽象函数，利用赋值法是解决本题的关键．综合性较强．