Question

15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．
（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B-PC-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．利用线面垂直的性质定理与判定定理可得PC⊥BD，BD⊥平面PAC，即可证明BD⊥AC．又底面ABCD为矩形，可得ABCD为正方形．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面BPC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即可得出平面BPC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$．
（2）平面PAC的法向量为：$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）．设二面角B-PC-A=θ，由图可知：θ为锐角．则cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$，即可得出．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD．
又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，AC?平面PAC，
∴BD⊥AC．
又底面ABCD为矩形，∴ABCD为正方形．
建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），
D（0，2，0）．
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，1），
设平面BPC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-2x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，2．）．
∴平面BPC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，2．）．
（2）平面PAC的法向量为：$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）．
设二面角B-PC-A=θ，由图可知：θ为锐角．
则cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sinθ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=3．即二面角B-PC-A的正切值为3．

点评 本题考查了空间位置关系、法向量的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．