Question

5．已知A（0，1），B、C为椭圆x²+my²=m（m＞1）上的三个不同点，AB⊥AC．
（Ⅰ）当椭圆长轴长为4时，求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值f（m）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化椭圆方程化为标准形式，结合题意可得$2\sqrt{m}=4$，求得m值，则椭圆的离心率可求；
（Ⅱ）不妨设直线AB为y=kx+1（k＞0）．联立直线方程与椭圆方程，求得B，C的坐标，得到|AB|，|AC|，写出△ABC的面积，换元后分类讨论求最值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆方程化为$\frac{{x}^{2}}{m}+{y}^{2}=1$．
由题意知：$2\sqrt{m}=4$，得m=4．
∴a=2，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）不妨设直线AB为y=kx+1（k＞0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+m{y}^{2}=m}\end{array}\right.$，得（1+mk²）x²+2mkx=0．
解得：x=0或x=$\frac{-2mk}{1+m{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\frac{2mk}{1+m{k}^{2}}\sqrt{1+{k}^{2}}$，同理可得：|AC|=$\frac{\frac{2m}{k}}{1+\frac{m}{{k}^{2}}}\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{2{m}^{2}•\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}}{1+{m}^{2}+m（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，令$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}=t$，t≥2．
∴${S}_{△ABC}=\frac{2{m}^{2}t}{1+{m}^{2}+m（{t}^{2}-2）}=\frac{2{m}^{2}}{mt+\frac{（m-1）^{2}}{t}}$．
①当$\frac{m-1}{\sqrt{m}}≤2$，即$1＜m≤3+2\sqrt{2}$时，$[mt+\frac{（m-1）^{2}}{t}]_{min}=2m+\frac{（m-1）^{2}}{2}$，
∴f（m）=$\frac{4{m}^{2}}{（m+1）^{2}}$；
②当$\frac{m-1}{\sqrt{m}}$＞2，即m＞$3+2\sqrt{2}$时，$[mt+\frac{（m-1）^{2}}{t}]_{min}=2\sqrt{m（m-1）^{2}}$．
∴$f（m）=\frac{{m}^{2}}{\sqrt{m（m-1）^{2}}}$．
故f（m）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{m}^{2}}{（m+1）^{2}}，1＜m≤3+2\sqrt{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{\sqrt{m（m-1）^{2}}}，m＞3+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用换元法求函数的最值，属难题．