Question

10．若S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₁₀=55．记b_n=[lna_n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．则数列{b_n}的前2017项和为4944．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，a₁=1，S₁₀=55．可得55=10+$\frac{10×9}{2}$×d，解得d，可得a_n=n．由b_n=[lna_n]，可得n=1，2，…9时，b_n=0；n=10，11，…，99，可得b_n=1．n=100，101，…，999，可得b_n=2．n=1000，1001，…，2017，可得b_n=3．即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，S₁₀=55．
∴55=10+$\frac{10×9}{2}$×d，解得d=1．
∴a_n=1+n-1=n．
∵b_n=[lna_n]，∴n=1，2，…9时，b_n=0；
n=10，11，…，99，可得b_n=1．
n=100，101，…，999，可得b_n=2．
n=1000，1001，…，2017，可得b_n=3．
∴数列{b_n}的前2017项和=0×9+1×90+2×900+3×1018
=4944．
故答案为：4944．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、取整函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．