Question

5．已知双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，抛物线${C_2}：{y^2}=4x$，C₁与C₂有公共的焦点F，C₁与C₂在第一象限的公共点为M，直线MF的倾斜角为θ，且$cosθ=\frac{1-2a}{3-2a}$，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（　　）

• A． 仅有两个不同的离心率e₁，e₂且e₁∈（1，2），e₂∈（4，6）
• B． 仅有两个不同的离心率e₁，e₂且e₁∈（2，3），e₂∈（4，6）
• C． 仅有一个离心率e且e∈（2，3）
• D． 仅有一个离心率e且e∈（3，4）

Answer 1

分析 由倾斜角的范围可得cosθ∈（-1，1），求得0＜a＜1，求出抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），m＞0．可得|MF|，由双曲线的第二定义可得|MF|=em-a，求得m，再在△MFF'中运用余弦定理，化简整理，可得a的方程，解方程即可得到a的值，进而得到离心率．

解答 解：直线MF的倾斜角为θ，
可得cosθ∈（-1，1]，
由题意可得cosθ∈（-1，1），
由$cosθ=\frac{1-2a}{3-2a}$，
可得|$\frac{1-2a}{3-2a}$|＜1，
解得0＜a＜1，
由题意可得F（1，0），准线方程为x=-1，即c=1，
设M（m，n），m＞0．
由抛物线的定义可得|MF|=m+1，
由双曲线的第二定义可得，|MF|=em-a=$\frac{m}{a}$-a，
求得m=$\frac{a（1+a）}{1-a}$，
m+1=$\frac{1+{a}^{2}}{1-a}$，
设双曲线的左焦点为F'，
由双曲线的第一定义可得|MF'|=2a+m+1，
在△MFF'中，可得-cosθ=$\frac{4+（m+1）^{2}-（2a+m+1）^{2}}{4（m+1）}$=$\frac{1-{a}^{2}}{1+m}$-a=-$\frac{1-2a}{3-2a}$，
$\frac{（1-a）（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$=$\frac{-2{a}^{2}+5a-1}{3-2a}$，
即有a²-5a+2=0，
解得a=$\frac{5±\sqrt{17}}{2}$（舍去大于1的数），
可得a=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{5-\sqrt{17}}$=$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$∈（2，3）．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的方程和定义、双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．