题目内容
7．
某学校研究性学习小组对该校高二（1）班n名学生视力情况进行调查，得到如图所的频率分布直方图，已知视力在4.0～4.4范围内的学生人数为24人，视力在5.0～5.2范围内为正常视力，视力在3.8～4.0范围内为严重近视．（1）求a，n的值；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对班级名次在前10名和后10名的学生进行了调查，得到如表中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（3）若先按照分层抽样在正常视力和严重近视的学生中抽取6人进一步调查他们用眼习惯，再从这6人中随机抽取2人进行保护视力重要性的宣传，求视力正常人数ξ的分布列和期望．
| 是否近视/年级名次 | 前10名 | 后10名 |
| 近视 | 9 | 7 |
| 不近视 | 1 | 3 |
| P（K2≥k） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
分析 （1）由频率和为1列方程求出a的值，根据频率、频数与样本容量的概型求出n的值；
（2）由列联表计算K2，对照临界值表得出正确的结论；
（3）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，求出数学期望值．
解答 解：（1）由频率和为1，得
（a+2a+2a+3a+4a+4a+4a）×0.2=1，
解得a=0.25，
由已知（4a+4a）×0.2=$\frac{24}{n}$，
解得n=60；
（2）由列联表计算K2=$\frac{20{×（9×3-1×7）}^{2}}{10×10×16×4}$=$\frac{5}{4}$=1.25＜2.706，
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，不能认为视力与学习成绩有关系；
（3）正常视力为6人，严重近视为3人，依题意抽取的6人中，正常视力4人，严重近视2人，
从6人中任取2人，视力正常人数ξ的可能取值为0，1，2；
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$；
∴ξ的分布列为，
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{15}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{2}{5}$ |
点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验问题，也考查了离散型随机变量的分布列，是中档题．
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19．
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如图所示，用A1、A2、A3三个元件连接成一个系统，A1、A2、A3能否正常工作相互独立，当A1正常工作且A2、A3至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知A1、A2、A3正常工作的概率均为$\frac{2}{3}$，则系统正常工作的概率为（ ）| A． | $\frac{4}{27}$ | B． | $\frac{8}{27}$ | C． | $\frac{16}{27}$ | D． | $\frac{20}{27}$ |