Question

已知f（x）=

x

x2+1

在[-3，3]，判断并证明奇偶性，单调性和最值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），即可得到奇偶性；运用导数，求出导数，令导数大于0、小于0，解不等式即可得到单调区间，注意定义域；讨论x=0，x＞0，x＜0，运用基本不等式，即可得到最值．

解答： 解：f（x）为奇函数，理由：f（x）的定义域为[-3，3]关于原点对称，
f（-x）=-

x

1+x2

=-f（x），即函数f（x）是奇函数．
又函数的导数为f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
由f′（x）＞0，解得1-x²＞0，即x²＜1，解得-1＜x＜1，
此时函数f（x）在（-1，1）单调递增；
由f′（x）＜0，解得1-x²＜0，即x²＞1，解得x＞1或x＜-1，
此时函数在（1，3），（-3，-1）单调递减．
又x²+1＞0在[-3，3]上恒成立，
若x=0，则f（x）=0，
若x≠0时，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
若x＞0，x+

1

x

≥2，此时0＜f（x）≤

1

2

，
若x＜0，则x+

1

x

≤-2

(-x)• 1 -x

=-2，此时-

1

2

≤f（x）＜0，
综上-

1

2

≤f（x）≤

1

2

，即函数的最大值为

1

2

，最小值为-

1

2

．

点评：本题主要考查分式函数的性质，要求熟练掌握分式函数定义域，值域，单调性的求法．