Question

19．已知a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$为3^a与3^b的等比中项，则$\frac{ab}{4a+9b}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{24}$
• B． $\frac{1}{25}$
• C． $\frac{1}{26}$
• D． $\frac{1}{27}$

Answer 1

分析 由等比中项推导出a+b=1，从而$\frac{ab}{4a+9b}$=$\frac{1}{\frac{4}{b}+\frac{9}{a}}$=$\frac{1}{（\frac{4}{b}+\frac{9}{a}）（a+b）}$=$\frac{1}{\frac{4a}{b}+\frac{9b}{a}+13}$，由此利用基本不等式能求出$\frac{ab}{4a+9b}$的最大值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$为3^a与3^b的等比中项，
∴3^a•3^b=3^a+b=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴a+b=1，
∴$\frac{ab}{4a+9b}$=$\frac{1}{\frac{4}{b}+\frac{9}{a}}$=$\frac{1}{（\frac{4}{b}+\frac{9}{a}）（a+b）}$=$\frac{1}{\frac{4a}{b}+\frac{9b}{a}+13}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4a}{b}•\frac{9b}{a}}+13}$=$\frac{1}{25}$．
当且仅当$\frac{4a}{b}=\frac{9b}{a}$时，取等号，
∴$\frac{ab}{4a+9b}$的最大值为$\frac{1}{25}$．
故选：B．

点评 本题考查代数式最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、基本不等式性质的合理运用．