Question

1．．设数列{a_n}满足a₂+a₄=12，点p_n（n，a_n）对任意的n∈N₊，都有$\overline{{p_n}{p_{n+1}}}=（1，2）•$
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n•
（2）若数列{b_n}满足a_n=log₂（b_n+2），求数列$\{\frac{4^n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n项和T_n，并证明$\frac{1}{7}≤{T_n}＜\frac{1}{6}•$．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件推出{a_n}是公差为2的等差数列，然后求解通项公式．
（2）利用a_n=log₂（b_n+2），求出b_n，化简数列$\{\frac{4^n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的通项公式，利用裂项消项法求和，然后证明不等式．

解答 解：（1）$\overrightarrow{{p_n}{p_{n+1}}}=（1，{a_{n+1}}-{a_n}）=（1，2）$，即a_n+1-a_n=2，{a_n}是公差为2的等差数列．…（2分）    由a₂+a₄=a₁+2+a₁+6=12，得a₁=2，…（3分）
故a_n=2+（n-1）2=2n…（4分）
（2）由a_n=log₂（b_n+2）=2n得${b_n}+2={2^{2n}}={4^n}$，故${b_n}={4^n}-2$．…（6分），所以$\frac{4^n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{4^n}{{（{4^n}-2）（{4^{n+1}}-2）}}=\frac{1}{3}×\frac{{（{4^{n+1}}-2）-（{4^n}-2）}}{{（{4^n}-2）（{4^{n+1}}-2）}}=\frac{1}{3}（\frac{1}{{{4^n}-2}}-\frac{1}{{{4^{n+1}}-2}}）$
…（8分）
所以${T_n}=\frac{1}{3}（\frac{1}{4-2}-\frac{1}{{{4^2}-2}}+\frac{1}{{{4^2}-2}}-\frac{1}{{{4^3}-2}}+…+\frac{1}{{{4^n}-2}}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{4^{n+1}}-2}}）=\frac{1}{6}-\frac{1}{{3（{4^{n+1}}-2）}}$…（10分）
因为${T_n}=\frac{1}{6}-\frac{1}{{3（{4^{n+1}}-2）}}$单调递增，所以$\frac{1}{6}＞{T_n}=\frac{1}{6}-\frac{1}{{3（{4^{n+1}}-2）}}≥{T_1}=\frac{1}{7}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列与向量相结合，数列求和，数列的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．