题目内容

16．正项数列{an}满足：an2+（1-n）an-n=0，若bn=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2016=$\frac{2016}{2017}$．

分析 通过分解因式，利用正项数列{an}，直接求数列{an}的通项公式an；利用数列的通项公式化简bn，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn，即可得出结论．

解答 解：由正项数列{an}满足an2+（1-n）an-n=0，
可得（an-n）（an+1）=0，
所以an=n．
所以bn=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
Tn=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
所以T2016=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．

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