Question

对于函数f（x）=a+

2

2x+1

（x∈R）；
（1）若f（x）是奇函数，求a值；
（2）在（1）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）是奇函数，且定义域为R，由f（0）=0求解a的值；
（2）利用函数单调性的定义证得f（x）在R上是单调减函数，结合f（x）为奇函数把不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0转化变形，去掉“f”后解关于t的一次不等式得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=a+

2

20+1

=0，解得a=-1；
（2）∵f（x）的定义域为R，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数．
由（1）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数，
∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．
转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），
2t+1≥-t+5，解得t≥

4

3

．
故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥

4

3

}．

点评：本题考查了函数单调性和奇偶性的性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．