Question

已知圆C的极坐标方程是ρ²+2ρ（cosθ+

3

sinθ）-5=0，直线l的参数方程

x=1+ 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

，t为参数．
（1）求直线m：θ=

π

3

（ρ∈R）被圆截得的弦长．
（2）已知P（1，-

3

），若圆C与直线l交于两点A，B求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）先根据ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y求出圆C的普通方程，然后求出圆的圆心、半径，再求出直线m的方程，判断出它过圆心，再求出截得的弦长；
（2）把直线的参数方程代入圆C的普通方程得，t2+2

3

t-5=0，利用韦达定理表示出两根之积t₁t₂=-5，再由|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|，求得结果．

解答： 解：（1）由题意得，C的极坐标方程是ρ²+2ρ（cosθ+

3

sinθ）-5=0，
∴则圆C直角坐标方程为x²+y²+2x+2

3

y-5=0，
即（x+1）²+（y+

3

）²=9，
表示以C（-1，-

3

）为圆心、以3为半径的圆，
当θ=

π

3

（ρ∈R）时，则直线m：y=

3

x经过圆心，
则截得弦长为直径长6；
（2）将

x=1+ 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

代入（x+1）²+（y+

3

）²=9，
得t2+2

3

t-5=0，
设方程的两个根为t₁、t₂，则t₁t₂=-5，
所以|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=5．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为普通方程的方法，参数的几何意义，以及直线与圆的位置关系，属于中档题．