Question

设函数f（x）=

2

x-1

．
（1）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[2，6]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，即取值、作差、变形、定号、下结论；
（2）根据（1）知函数y在[2，6]上单调递减，根据函数的单调性求出最大值和最小值．

解答： 证明：（1）设x₁、x₂是区间（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
由1＜x₁＜x₂得，x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（2）解：由（1）知，函数f（x）=

2

x-1

在区间[2，6]上单调递减，
∴当x=2时，函数的最大值f（x）_max=f（2）=2，
当x=6时，函数的最小值f（x）_min=f（6）=

2

5

．

点评：本题考查函数单调性的定义，及根据单调性定义证明函数单调性的方法，根据函数单调性求闭区间上函数的最值．