题目内容
已知函数f（x）=
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）过点P（0，
）作直线l与曲线y=f（x）相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m∈（
，
）．
| x |
| ex |
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）过点P（0，
| 4 |
| e2 |
| e2-1 |
| e2 |
| 2e3-1 |
| e2 |
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）求导后根据正负求单调性，及极值；
（Ⅱ）由导数的几何意义转化，结合图象可得结果．
（Ⅱ）由导数的几何意义转化，结合图象可得结果．
解答：
（Ⅰ）解：由题知f′（x）=
，
当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f（1）=
，无极小值．
（Ⅱ）证明：设切点为（x0，f（x0）），则所作切线的斜率k=
，
所以直线l的方程为：y-
=
（x-x0），
注意到点点P（0，
）在l上，所以
-
=
（-x0），
整理得：
-
=0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，
令g（x）=
-
，则g′（x）=-
，
当g'（x）＞0时，0＜x＜2，当g'（x）＜0时，x＜0或x＞2，
所以，函数g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
注意到g（0）=-
＜0，g（2）=0，g（-1）=e-
＞0，
所以方程g（x）=0的解为x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即过点P（0，
）恰好可以作两条与曲线y=f（x）相切的直线．
当x=2时，对应的切线斜率k1=f′（2）=-
，
当x=t时，对应的切线斜率k2=
，
令h（t）=
（-1＜t＜0），则h′（t）=
＜0，
所以h（t）在（-1，0）上为减函数，即1=h（0）＜h（t）＜h（-1）=2e，1＜k2＜2e，
所以m=k1+k2∈（
，
）．
| 1-x |
| ex |
当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f（1）=
| 1 |
| e |
（Ⅱ）证明：设切点为（x0，f（x0）），则所作切线的斜率k=
| 1-x0 |
| ex0 |
所以直线l的方程为：y-
| x0 |
| ex0 |
| 1-x0 |
| ex0 |
注意到点点P（0，
| 4 |
| e2 |
| 4 |
| e2 |
| x0 |
| ex0 |
| 1-x0 |
| ex0 |
整理得：
| x02 |
| ex0 |
| 4 |
| e2 |
令g（x）=
| x2 |
| ex |
| 4 |
| e2 |
| x(x-2) |
| ex |
当g'（x）＞0时，0＜x＜2，当g'（x）＜0时，x＜0或x＞2，
所以，函数g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
注意到g（0）=-
| 4 |
| e2 |
| 4 |
| e2 |
所以方程g（x）=0的解为x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即过点P（0，
| 4 |
| e2 |
当x=2时，对应的切线斜率k1=f′（2）=-
| 1 |
| e2 |
当x=t时，对应的切线斜率k2=
| 1-t |
| et |
令h（t）=
| 1-t |
| et |
| t-2 |
| et |
所以h（t）在（-1，0）上为减函数，即1=h（0）＜h（t）＜h（-1）=2e，1＜k2＜2e，
所以m=k1+k2∈（
| e2-1 |
| e2 |
| 2e3-1 |
| e2 |
点评：本题综合考查的导数的应用，同时考查了转化和数形结合的思想．
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