Question

如图所示几何体是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱锥B₁-A₁BC₁后所得，点M为A₁C₁的中点．
（1）求证：平面A₁C₁D⊥平面MBD；
（2）求平面A₁BC₁与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知推导出DM⊥A₁C₁，BM⊥A₁C₁，从而A₁C₁⊥平面MBD，由此能证明平面A₁C₁D⊥平面MBD．
（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A₁BC₁与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵几何体是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截取三棱锥B₁-A₁BC₁后所得，
∴DA₁=DC₁，A₁M=C₁M，∴DM⊥A₁C₁，
又BA₁=BC₁，A₁M=C₁M，∴BM⊥A₁C₁，
又DM∩BM=M，∴A₁C₁⊥平面MBD，
又A₁C₁?平面A₁C₁D，∴平面A₁C₁D⊥平面MBD．（6分）
（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设DA=1，依题意知，A₁（1，0，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
有

A1B

=(0，1，-1)，

A1C1

=(-1，1，0)
设平面A₁BC₁的一个法向量

n

=(x，y，z)，
有

n • A1B =0 n • A1C1 =0

代入得

y-z=0 -x+y=0

，
设x=1，有

n

=(1，1，1)，平面ABCD的一个法向量

m

=(0，0，1)，
设平面A₁BC₁与平面ABCD所成锐二面角大小为α，
则cosα=|

n • m

| n || m |

|=

3

3

，
∴平面A₁BC₁与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

3

3

．（12分）

点评：本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识．本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．