Question

已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0恒成立，求k的取值范围.

Answer 1

 (1)∵f(x)是奇函数，

∴f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知

解得a＝2.经检验a＝2适合题意，

∴所求a，b的值分别为2,1.

(2)解法1：由(1)知f(x)＝

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

又因f(x)是奇函数，

从而不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0，等价于

f(t²－2t)<－f(2t²－k)＝f(－2t²＋k)．

因f(x)是减函数，由上式推得t²－2t>－2t²＋k.

即对一切t∈R有3t²－2t－k>0.

从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

解法2：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得

即(22t²－k＋1＋2)(－2t²－2t＋1)＋(2t²－2t＋1＋2)·(－22t²－k＋1)<0.

整理得23t²－2t－k>1，因底数2>1，故3t²－2t－k>0.

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.