Question

【题目】如图1，在长方形中，为的中点，为线段上一动点．现将沿折起，形成四棱锥.

图1 图2 图3

（Ⅰ）若与重合，且(如图2).

(ⅰ)证明：平面；

(ⅱ)求二面角的余弦值.

（Ⅱ）若不与重合，且平面平面 (如图3)，设，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）(ⅰ)证明见解析，(ⅱ)；（Ⅱ）.

【解析】

①先证明平面得，再由，即可证明结论

②先作出二面角的平面角，然后解三角形

由立体图形还原到平面图，设，运用勾股定理求出的表达式，然后求出范围

(ⅰ)由与重合，则有,

因为，平面,,

,所以平面.

(ⅱ)由平面，平面，故平面平面，

作于,作于，连接.

因为，平面平面，为交线，故平面，

故，又，故平面,所以为所求角.

易求得在中，可求得，故,

.

（Ⅱ） 如图，作于,作于，连接.

由平面平面且可得平面,故,由可得平面,故在平面图形中，三点共线且.

设，由，故,

，所以， .