题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,左顶点为
,过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于
两点,其中点
在第二象限,过点
作
轴的垂线交
于点
.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵当直线的斜率为
时,求
的面积;
⑶试比较与
大小.
【答案】⑴⑵
⑶见解析
【解析】试题分析:(1)利用离心率、左顶点坐标求解即可;(2)根据直线过原点且斜率为写出直线方程,联立直线和椭圆方程,求出
,再写出直线
的方程,求出点
的坐标,利用三角形的面积公式进行求解;(3)设直线
的方程为
,
,与椭圆方程联立,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.
试题解析:⑴因为左顶点为,所以
因为椭圆的离心率为,所以
,解得
又因为,所以
故所求椭圆的标准方程为
⑵因为直线过原点,且斜率为
所以直线的方程为
代入椭圆方程解得
因为,所以直线
的方程为
从而有
故的面积等于
⑶方法一:
设直线的方程为
,
代入椭圆方程得
设,则有
,解得
从而
由椭圆对称性可得
所以
于是
故
从而
所以
因为点在第二象限,所以
,于是有
方法二:
设点,则点
因为,所以直线
的方程为
所以
从而
从而有
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