题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为,左顶点为,过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点,其中点在第二象限,过点作轴的垂线交于点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵当直线的斜率为时,求的面积;
⑶试比较与大小.
【答案】⑴⑵⑶见解析
【解析】试题分析:(1)利用离心率、左顶点坐标求解即可;(2)根据直线过原点且斜率为写出直线方程,联立直线和椭圆方程,求出,再写出直线的方程,求出点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解;(3)设直线的方程为, ,与椭圆方程联立,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.
试题解析:⑴因为左顶点为,所以
因为椭圆的离心率为,所以,解得
又因为,所以
故所求椭圆的标准方程为
⑵因为直线过原点,且斜率为
所以直线的方程为
代入椭圆方程解得
因为,所以直线的方程为
从而有
故的面积等于
⑶方法一:
设直线的方程为,
代入椭圆方程得
设,则有,解得
从而
由椭圆对称性可得
所以
于是
故
从而
所以
因为点在第二象限,所以,于是有
方法二:
设点,则点
因为,所以直线的方程为
所以
从而
从而有