题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,左顶点为,过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点,其中点在第二象限,过点轴的垂线交于点

⑴求椭圆的标准方程;

⑵当直线的斜率为时,求的面积;

⑶试比较大小.

【答案】见解析

【解析】试题分析:(1利用离心率、左顶点坐标求解即可;(2根据直线过原点且斜率为写出直线方程,联立直线和椭圆方程,求出,再写出直线的方程,求出点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解;(3设直线的方程为 ,与椭圆方程联立,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.

试题解析:⑴因为左顶点为,所以

因为椭圆的离心率为,所以,解得

又因为,所以

故所求椭圆的标准方程为

⑵因为直线过原点,且斜率为

所以直线的方程为

代入椭圆方程解得

因为,所以直线的方程为

从而有

的面积等于

方法一:

设直线的方程为

代入椭圆方程得

,则有,解得

从而

由椭圆对称性可得

所以

于是

从而

所以

因为点在第二象限,所以,于是有

方法二:

设点,则点

因为,所以直线的方程为

所以

从而

从而有

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