Question

某厂2014年初用36万元购进一生产设备，并立即投入生产，该生产设备第一年维修保养费用4万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加2万元，该生产设备使用后，每年的年收入为23万元，该生产设备使用戈年后的总盈利额为y万元．问：
（I）从第几年开始，该厂开始盈利（总盈利额为正值）；
（Ⅱ）到哪一年，年平均盈利额能达到最大值？此时工厂共获利多少万元？
（前x年的总盈利额=前x年的总收入一前x年的总维修保养费用一购买设备的费用）

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：由题意先写出y=23x-[4x+

x(x-1)

2

×2]-36=-x²+20x-36（x∈N^*）；
（1）解不等式-x²+20x-36＞0即可；
（2）化简

y

x

=20-（x+

36

x

），再利用基本不等式求最值即可．

解答： 解：前x年每年的维修保养费用构成首项为4，公差为2的等差数列，
∴前x年的总维修保养费用为[4x+

x(x-1)

2

×2]万元；
∴y=23x-[4x+

x(x-1)

2

×2]-36=-x²+20x-36（x∈N^*）；
（I）解不等式-x²+20x-36＞0得，2＜x＜18；
故从第3年开始，该厂开始盈利；
（Ⅱ）∵

y

x

=20-（x+

36

x

）≤20-12=8；
（当且仅当x=6时，等号成立）；
∴到2019年，年平均盈利额能达到最大值，此时工厂共获利48万元．

点评：本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．