Question

甲乙两地相距s千米，一船由甲地逆水行驶至乙地，水速为常量p（单位：千米/小时）船在静水中的最大速度为q千米/小时（q＞p），已知轮船每小时的燃料费用（单位：元）与船在静水中的速度v （单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为k．
（1）把全程燃料费用y（单位：元）表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；
（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度为多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，全程燃料费由每小时的费用及航程时间来决定，所以应先找出每小时的燃料费用及全程航行时间；
（2）问是求最值问题．是否需用基本不等式，要注意适用的条件，尤其是第（1）问的定义域，水速应小于船的最小速度，所以定义域应是（p，q]．因此，本题若基本不等式的“=”号能满足即可求得结果，但也存在不能使“=”号成立的情况，因而，也需用函数的单调性求解．

解答： 解：（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv²，全程航行时间为

s

v-p

，于是全程燃料费用y=kv²•

s

v-p

，
故所求函数是y=ks•

v2

v-p

（p＜v≤q），定义域是（p，q]．
（2）y=ks•

(v2-p2)+p2

v-p

=ks[（v+p）+

p2

v-p

]
=ks[v-p+

p2

v-p

+2p]≥4ksp．
其中取“=”的充要条件是v-p=

p2

v-p

，即v=2p．
①当v=2p∈（p，q]，即2p≤q时，y_min=f（2p）=4ksp．
②当2p?（p，q]，即2p＞q．任取v₁，v₂∈（p，q]且v₁＜v₂，则
y₁-y₂=ks[（v₁-v₂）+（

p2

v1-p

-

p2

v2-p

）]
=

ks(v2-v1)

(v1-p)(v2-p)

[p²-（v₁-p）（v₂-p）]．
而p²-（v₁-p）（v₂-p）＞p²-（q-p）（q-p）=q（2p-q）＞0．
∴y₁-y₂＞0．
故函数y在区间（p，q]内递减，此时y（v）≥y（q）．
即y_min=y（q）=ks_•

q2

q-p

．此时，船的前进速度等于q-p．
故为使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为2p-p=p（千米/小时）；当2p＞q时，船的实际前进速度为q-p（千米/小时）．

点评：本题考查函数解析式的列法及函数最值的求法，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．