Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）为二次函数，且f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若3≤x≤4时，t≤f（x）≤2t+7恒成立，求实数t的范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据解析式特征，代入整体求解，利用恒成立，再根据奇偶性求解．
（2）分离参数t 求解即可．

解答： 解：（1）当x≥0时，f（x）为二次函数，
设当x≥0时，f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，
∴c=1，a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1，
ax²+（2a+b）x+a+b+1=ax²+（b+2）x+1恒成立，
∴a+b=0.2a+b=b+2
即a=1，b=-1，
所以当x≥0时，f（x）=x²-x+1，
当x≤0时，则-x≥0，f（x）=f（-x）=x²+x+1．
即f（x）=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

，．
（2）当3≤x≤4时t≤f（x）≤2t+7恒成立，即t≤x²-x+1≤2t+7恒成立，

t≤x2-x+1 t≥ x2 2 - x 2 -3

构造函数，在[3，4]上都为增函数，解其在[3，4]上的最值，
可得：t∈[3，7]

点评：本题考查了函数的性质，运用函数思想解决问题．