Question

在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2-cosC）=sin²

C

2

+

1

2

，则△ABC为（　　）

• A、等边三角形
• B、等腰直角三角形
• C、锐角非等边三角形
• D、钝角三角形

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A-B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．

解答：解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∵A与B都为△ABC的内角，
∴A-B=0，即A=B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）=

1

2

（1-cosC）+

1

2

=1-

1

2

cosC，
-

1

2

[cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1-

1

2

cosC，
∴-

1

2

（-cosC-1）（2-cosC）=1-

1

2

cosC，
即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC，
整理得：cos²C-2cosC=0，即cosC（cosC-2）=0，
∴cosC=0或cosC=2（舍去），
∴C=90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：B．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．