题目内容

4．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=-2sinθ．
（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
（2））若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．

分析 （1）求出C1的普通方程，即可求C1的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C2的直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入C2的直角坐标方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y0|，即可求|PM|•|PN|的取值范围．

解答 解：（1）消去参数可得x2+y2=1，因为α∈[0，π），所以-1≤x≤1，0≤y≤1，
所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分，
所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…（2分）
曲线C2的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1…（5分）
（2）设P（x0，y0），则0≤y0≤1，直线l的倾斜角为α，
则直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．…（7分）
代入C2的直角坐标方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，
由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y0|，
因为0≤y0≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…（10分）

点评 本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
14．已知点M到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若曲线C上存在两点A，B关于直线l：x-4y-12=0对称，求直线AB的方程．
15．在等差数列{an}中，已知a3+a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…S9中最小的是（　　）
A．S5B．S6C．S7D．S8
12．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P-AE-C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．
（1）证明：点H为EB的中点；
（2）） 若$AB=AC=2\sqrt{2}，AB⊥AC$，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．
19．已知数列{an}各项均为正数，Sn为该数列的前项和，${a_1}=1，2{S_n}={a_n}•{a_{n+1}}（{N∈{n^*}}）$，满足不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$的正整数n的最小值为32．
9．若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁RA）∩B=（　　）
A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}
16．已知函数$f（x）=-\frac{2f'（1）}{3}\sqrt{x}-{x^2}$的最大值为f（a），则a等于（　　）
A．$\frac{1}{16}$B．$\frac{{\root{3}{4}}}{4}$C．$\frac{1}{4}$D．$\frac{{\root{3}{4}}}{8}$
13．若数列{an}的首项a1=2，且${a_{n+1}}=3{a_n}+2（{n∈{N^*}}）$；令bn=log3（an+1），则b1+b2+b3+…+b100=5050．
15．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{3}t\\ y=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\end{array}\right.$（t为参数），在以O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C1与C2交于两点P，Q，
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程．
（Ⅱ）求|PQ|的值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网