Question

19．已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为该数列的前项和，${a_1}=1，2{S_n}={a_n}•{a_{n+1}}（{N∈{n^*}}）$，满足不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$的正整数n的最小值为32．

Answer 1

分析 利用数列递推关系与等差数列的通项公式可得a_n，利用“累乘求积”与对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，2{S_n}={a_n}•{a_{n+1}}（{N∈{n^*}}）$，∴2×1=1×a₂，解得a₂=2．
n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n（a_n+1-a_n-1），a_n＞0，化为：a_n+1-a_n-1=2．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2．
∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，a_2k=2+2（k-1）=2k，k∈N^*．
∴a_n=n．
∴$（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$$•（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$•…$•（1+\frac{1}{{a}_{nz}}）$=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×$…×$\frac{n+1}{n}$=n+1．
∴不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$化为：log₂（n+1）＞5，解得n+1＞2⁵，
因此满足不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$的正整数n的最小值为32．
故答案为：32．

点评 本题考查了数列递推关系与等差数列的通项公式、“累乘求积”与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．