Question

15．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{3}t\\ y=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\end{array}\right.$（t为参数），在以O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₁与C₂交于两点P，Q，
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后利用直角坐标与极坐标间的关系化成直角坐标方程即得；
（Ⅱ）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{3}t\\ y=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为4x-$\sqrt{2}$y-8=0，圆心在直线4x-$\sqrt{2}$y-8=0上，即可求|PQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：ρ²=4ρcosθ，
化成直角坐标方程为：x²+y²=4x；
（Ⅱ）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{3}t\\ y=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为4x-$\sqrt{2}$y-8=0
x²+y²=4x的圆心坐标为（2，0），半径为2，圆心在直线4x-$\sqrt{2}$y-8=0上，
∴|PQ|=4．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．