Question

14．已知点M到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若曲线C上存在两点A，B关于直线l：x-4y-12=0对称，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）动点M（x，y）到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1，可知：动点M（x，y）到点F（3，0）的距离与到直线x+3=0的距离相等．根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F（3，0）为焦点，x=-3为准线的抛物线，即可得出；
（2）通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）可知（y₁+y₂）（y₁-y₂）=12（x₁-x₂），利用直线AB的斜率为-4可知可知AB中点的坐标，计算即得结论．

解答 解：（1）∵动点M（x，y）到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1，
∴动点M（x，y）到点F（3，0）的距离与到直线x+3=0的距离相等．
根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F（3，0）为焦点，x=-3为准线的抛物线，
∴y²=4×3x，即y²=12x…．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则代入作差，可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=12（x₁-x₂），
又∵直线AB的斜率为-4，
∴-4（y₁+y₂）=12，
∴AB中点的坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴直线AB的方程为：y+$\frac{3}{2}$=-4（x-$\frac{7}{2}$），即4x+y-$\frac{45}{2}$=0，
经检验，此时直线AB与抛物线有两个不同的交点，满足题意．

点评 本题考查了抛物线的定义，考查点差法，考查运算求解能力，属于中档题．