Question

4．对于任意非零实数x₁，x₂，函数f（x）满足f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
（1）求f（-1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，若f（2x-1）＜f（x），求x取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）满足f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），取x₁=x₂=1，即可解得f（1）．取x₁=x₂=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），解得f（-1）．
（2）令x₁=x∈R，x₂=-1，可得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即可证明．
（3）由f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（x）是R上的偶函数，f（2x-1）＜f（x），可得：|2x-1|＜|x|，解出即可得出．

解答 （1）解：∵函数f（x）满足f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），取x₁=x₂=1，∴f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
取x₁=x₂=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0．
（2）证明：令x₁=x∈R，x₂=-1，则f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）是R上的偶函数．
（3）解：∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（x）是R上的偶函数，f（2x-1）＜f（x），
∴|2x-1|＜|x|，∴（2x-1）²＜x²，化为：3x²-4x+1＜0，解得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴x取值范围是$（\frac{1}{3}，1）$．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性单调性、不等式的解法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．