Question

12．已知集合A={x∈R|ax²-2x+1=0}
（1）若集合A中只有一个元素，用列举法写出集合A；
（2）若集合A中至多只有一个元素，求出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零．
（2）A中至多只有一个元素包含只有一个根或无根，只有一个根包含两种情况：一次方程或二次方程只有一个根，二次方程根的个数通过判别式为0；无根时，判别式小于0，解得．

解答 解：（1）当a=0时，A={$\frac{1}{2}$}；
当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式
△=4-4a=0得a=1．此时A={1}
综上，当a=0时，A={$\frac{1}{2}$}．
当a=1时，A={1}；
（2）∵A中至多只有一个元素，∴A中只有一个元素，或A=∅．
若A中只有一个元素，则当a=0时，A={x|-2x+1=0}={$\frac{1}{2}$}，符合条件；
当a≠0时，方程ax²-2x+1=0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，
则方程ax²-2x+1=0只有一个实数解，所以△=4-4a=0⇒a=1．
所以，a的值为0或1．
若A=∅，则方程ax²-2x+1=0无实数解，所以△=4-4a＜0⇒a＞1．
所以，a≥1或a=0．

点评 本题考查了集合的表示法．解题时容易漏掉a≠0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．