Question

16．已知函数f（x）=log₂（-x²-2x+8）．
（1）求f（x）的定义域和值域； 
（2）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由-x²-2x+8＞0，能求出f（x）的定义域，设μ（x）=-x²-2x+8=-（x+1）²+9，由此能求出f（x）的值域．
（2）由y=log₂x是增函数，而μ（x）在[-1，2）上递减，在（-4，-1]上递增，能求出f（x） 的单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（-x²-2x+8），
∴-x²-2x+8＞0，解得-4＜x＜2，
∴f（x）的定义域为（-4，2）．（4分）
设μ（x）=-x²-2x+8=-（x+1）²+9，
∵-4＜x＜2，
∴μ（x）∈（0，9]，
∴f（x）的值域为（-∞，log₂9]．（8分）
（2）∵y=log₂x是增函数，而μ（x）在[-1，2）上递减，在（-4，-1]上递增，
∴f（x） 的单调递减区间为[-1，2），单调递增区间为（-4，-1]．（12分）

点评 本题考查函数的定义域和值域的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．