Question

13．“[x]”表示不超过实数x的最大的整数，如[1.3]=1，[2]=2，[-2.3]=-3，又记{x}=x-[x]，已知函数f（x）=[x]-{x}，x∈R，给出以下命题：
①f（x）的值域为R；
②f（x）在区间[k，k+1]，k∈Z上单调递减；
③f（x）的图象关于点（1，0）中心对称；
④函数|f（x）|为偶函数．
其中所有正确命题的序号是①（将所有正确命题序号填上）

Answer 1

分析 由题意画出分段函数的图象，由图象逐一核对四个命题得答案．

解答 解：由题意，f（x）=[x]-{x}=[x]-{x-[x]}=2[x]-x．
作出函数f（x）=2[x]-x的图象如图，

由图可知，f（x）的值域为R，故①正确；
f（x）在区间[k，k+1），k∈Z上单调递减，故②错误；
f（x）的图象不关于点（1，0）中心对称，故③错误；
函数|f（x）|不是偶函数，故④错误．
∴正确命题的序号为①．
故答案为：①．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查数形结合的解题思想方法，考查分段函数的应用，是中档题．