Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{m+1}+{y^2}=1（m＞0）$的两个焦点是F₁，F₂，E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，当|EF₁|+|EF₂|取得最小值时椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2．|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求出m．由此能求出椭圆离心率．

解答 解：由题意，m＞0知m+1＞1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{m+1}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．
由△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，
解得m≥2，或m≤-1（舍去）∴m≥2，
当且仅当m=2时，|EF₁|+|EF₂|取得最小值：2$\sqrt{3}$．
此时a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆性质的应用，注意合理地进行等价转化．