Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M为AC的中点，N为PD上一点．
（1）若MN∥平面ABP，求证：N为PD的中点；
（2）若平面ABP⊥平面APC，求证：PC⊥平面ABP．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，证明MN∥BP，即可证明N为PD的中点；
（2）若平面ABP⊥平面APC，过点B作BE⊥AP于E，则BE⊥平面APC，证明：AB⊥PC，BE⊥PC，即可证明PC⊥平面ABP．

解答 证明：（1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，
∵MN∥平面ABP，MN?平面BPD，平面BPD∩平面ABP=BP，
∴MN∥BP，…（4分）
∵M为AC的中点，∴N为PD的中点．…（6分）
（2）在△ABP中，过点B作BE⊥AP于E，
∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC=AP，BE?平面ABP，BE⊥AP
∴BE⊥平面APC，…（9分）
又PC?平面APC，∴BE⊥PC．
∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP=B，BC，BP?平面BPC，
∴AB⊥平面BPC，…（12分）
∴AB⊥PC，
又BE⊥PC，AB?平面ABP，BE?平面ABP，AB∩BE=B，
∴PC⊥平面ABP． …（14分）

点评 本题考查线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，考查规范化书写表达能力．