Question

考虑向量

m

=（a，b，0），

n

=（c，d，1），其中a²+b²=c²+d²=1．
（1）向量

n

与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d值无关）；
（2）

m

•

n

的最大值为

2

；
（3）＜

m

，

n

＞（

m

，

n

的夹角）的最大值为

3π

4

；
（4）ad-bc的值可能为

5

4

；
（5）若定义

u

×

v

=|

u

|•|

v

|sin＜

u

，

v

＞，则|

m

×

n

|的最大值为

2

．
则正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）取z轴的正方向

α

=(0，0，1)，利用向量的夹角公式cos＜

α

，

n

＞=

α • n

| α | | n |

即可得出；
（2）利用

m

•

n

=ac+bd≤

a2+c2

2

+

b2+d2

2

即可得出；
（3）利用（2）可得：|

m

•

n

|≤1，∴-1≤

m

•

n

≤1．再利用夹角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

ac+bd

1× 2

≥-

1

2

，即可得出；
（4）设a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ，（α，β∈[0，2π））代入利用两角和差的正弦公式即可得出；
（5）由（3）可知：-

2

2

≤cos＜

m

，

n

＞≤

2

2

，即可得出

π

4

≤＜

m

，

n

＞≤

3π

4

，进而得出-

2

2

≤sin＜

m

，

n

＞≤1，即可．

解答： 解：（1）取z轴的正方向

α

=(0，0，1)，则cos＜

α

，

n

＞=

α • n

| α | | n |

=

1

1 • c2+d2+1

=

1

2

=

2

2

，
∴向量

n

与z轴正方向的夹角恒为定值

π

4

．因此正确．
（2）

m

•

n

=ac+bd≤

a2+c2

2

+

b2+d2

2

=

a2+c2+b2+d2

2

=

1+1

2

=1，当且仅当a=c，b=d时取等号．
因此

m

•

n

的最大值为1，故不正确；
（3）由（2）可得：|

m

•

n

|≤1，∴-1≤

m

•

n

≤1．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

ac+bd

1× 2

≥-

1

2

=-

2

2

，
∴＜

m

，

n

＞≤

3π

4

，因此正确．
（4）设a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ，（α，β∈[0，2π））
则ad-bc=cosαsinβ-sinαcosβ=sin（α-β）≤1，因此不正确．
（5）由（3）可知：-

2

2

≤cos＜

m

，

n

＞≤

2

2

，
∴

π

4

≤＜

m

，

n

＞≤

3π

4

，
∴-

2

2

≤sin＜

m

，

n

＞≤1，
∴|

m

×

n

|=|

m

| |

n

||sin＜

m

，

n

＞|≤

2

．
因此正确．
综上可知：只有（1）（3）（5）正确．
故答案为：（1）（3）（5）．

点评：本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质、三角代换等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．