Question

已知数列{log₃（a_n-1）（n∈N^*）}为等差数列，且a₁=4，a₂=10．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 求证：

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出；
（II）利用（I）和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （Ⅰ）解：设等差数列{log₃（a_n-1）（n∈N^*）}的公差为d，
由a₁=4，a₂=10得log₃（4-1）=1，log₃（10-1）=2，
∴d=2-1=1；
∴log₃（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，
∴an-1=3n，
即an=3n+1．
（Ⅱ）证明：∵

1

an+1-an

=

1

3n+1-3n

=

1

2

•

1

3n

，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

(

1

31

+

1

32

+

1

33

…+

1

3n

)
=

1

2

(

1 3 - 1 3n × 1 3

1- 1 3

)=

1

2

•

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

4

．

点评：本题考查了等差数列的定义及其通项公式、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．