Question

“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,推理和证明

分析：左右图中大矩形的面积相等，左边的图中阴影部分的面积为 S₁=sin（α+β），在右边的图中，阴影部分的面积 S₂ 等于2个阴影小矩形的面积之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面积 S₂ 还等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，再由2个图中空白部分的面积相等，可得S₁ =S₂ ，从而得出结论．

解答： 解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）
=sinβcosβ+cosβsinα++sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S₁ ．
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（

1

2

sinβcosβ+

1

2

sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．
故阴影部分的面积 S₁ =S-sinβcosβ-sinαcosα=sin（α+β）．
而在右边的图中阴影部分的面积 S₂ 等于2个阴影小矩形的面积之和，即S₂=sinαcosβ+cosαsinβ．
在右边的图中大矩形的面积也等于S，S₂等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，
而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．
故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S₁ =S₂ ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
故答案为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

点评：本题主要考查三角函数的恒等式的证明，体现了转化的数学思想，属于中档题．