Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AA₁=AB=a，且点D、E分别为棱AA₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁E∥面BDC₁；
（2）求二面角C₁-BD-B₁的平面角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）在线段BC₁上取中点F，连结EF，DF，由已知得四边形EFDA₁是平行四边形，由此能证明A₁E∥面BDC₁．
（2）以A为原点，AC为y轴，AA₁为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-BD-B₁的平面角的正切值．

解答： （1）证明：在线段BC₁上取中点F，连结EF，DF，
∴EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四边形EFDA₁是平行四边形，
∴A₁E∥FD，又A₁E不包含于平面BDC₁，FD?平面BDC₁，
∴A₁E∥面BDC₁．
（2）解：以A为原点，AC为y轴，AA₁为Z轴，
建立空间直角坐标系，
则C₁（0，a，a），B（

3 a

2

，

a

2

，0），
D（0，0，

a

2

），B₁（

3 a

2

，

a

2

，a），

BC1

=（-

3

2

a，

a

2

，0），

BD

=（-

3

2

a，-

a

2

，

a

2

），

BB1

=（0，0，a），
设平面C₁BD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BC1 =- 3 2 ax+ a 2 y=0 n • BD =- 3 2 ax- a 2 y+ a 2 z=0

，
取x=2

3

，得

n

=（2

3

，6，12），
设平面BDB₁的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），
则

m • BD =- 3 2 ax1- a 2 y1+ a 2 z1=0 m • BB1 =az1=0

，
取x1=

3

，得

m

=（

3

，-3，0），
|cos＜

n

，

m

＞|=|

6-18

192 • 12

|=

1

4

，
设二面角C₁-BD-B₁的平面角为θ，
则cosθ=

1

4

，tanθ=

15

．
∴二面角C₁-BD-B₁的平面角的正切值为

15

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．