Question

10．已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且a_n²+a_n=2S_n，n∈N^*．
（1）求a₁及a_n；
（2）求满足S_n＞210时n的最小值；
（3）令b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$，证明：对一切正整数n，都有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}=2{a}_{1}$，由此能求出a₁=1，由a_n²+a_n=2S_n，得${{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n-1}=2{S}_{n-1}$，从而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，进而数列{a_n}是首项和公差都为1的等差数列，由此能求出a_n=n．
（2）求出S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，由此能求出满足S_n＞210时n的最小值．
（3）由题意得${b}_{n}={4}^{n}$，从而数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是首项和公比都是$\frac{1}{4}$的等比数列，由此能证明对一切正整数n，都有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且a_n²+a_n=2S_n，n∈N^*．
∴当n=1时，${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}=2{a}_{1}$，且a₁＞0，解得a₁=1，
∵a_n²+a_n=2S_n，①，∴${{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n-1}=2{S}_{n-1}$，②
①-②，得：${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n}-{a}_{n-1}=2{a}_{n}$，
整理，得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是首项和公差都为1的等差数列，
∴a_n=n．
（2）∵数列{a_n}是首项和公差都为1的等差数列，a_n=n．
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵S_n＞210，∴$\frac{n（n+1）}{2}＞210$，
整理，得n²+n-420＞0，解得n＞20（n＜-21舍），
∴满足S_n＞210时n的最小值是21．
证明：（3）由题意得${b}_{n}={4}^{n}$，则$\frac{1}{{b}_{n}}=\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是首项和公比都是$\frac{1}{4}$的等比数列，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{1}{3}$．
故对一切正整数n，都有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的首项的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．