题目内容

5．已知数列{an}中，a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N*）．设bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N*），求证：数列{bn}是等差数列．

分析 利用已知递推关系，作差bn+1-bn，证明为常数即可．

解答 证明：∵a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N*），bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N*），
∴bn+1-bn=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，b1=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，
∴数列{bn}是等差数列，首项为1，公差为1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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15．已知公差不为零的等差数列{an}中，a1=1且a1，a3，a9成等比数列，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设bn=n•2${\;}^{{a}_{n}}$求数列[bn}的前n项和Sn．

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