Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=BC=1，∠BCA=90°，D、D₁分别是AB与A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AC₁与A₁B₁所成的角的大小；
（2）求证：平面AC₁D₁∥平面B₁CD．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据已知可得AB=

2

，AC₁=

2

，BC₁=

2

，从而可求∠C₁AB=

π

3

，由A₁B₁∥AB，可得异面直线AC₁与A₁B₁所成的角=∠C₁AB=

π

3

．
（2）先证明AD₁

∥

.

DB₁再证明，C₁D₁

∥

.

CD，由于AD₁∩C₁D₁=D₁，CD∩DB₁=D，从而可证平面AC₁D₁∥平面B₁CD．

解答： 解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=BC=1，∠BCA=90°
∴AB=

BC2+AC2

=

2

，AC₁=

AC2+CC21

=

2

，BC₁=

BC2+CC12

=

2

∴△ABC₁是正三角形，∠C₁AB=

π

3

，
∵A₁B₁∥AB
∴异面直线AC₁与A₁B₁所成的角=∠C₁AB=

π

3

．
（2）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B1D1

∥

.

AD，
∴AD₁

∥

.

DB₁
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁D₁

∥

.

CD
又∵AD₁∩C₁D₁=D₁，CD∩DB₁=D
∴平面AC₁D₁∥平面B₁CD．

点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定，异面直线及其所成的角的解法，属于基本知识的考查．