Question

已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²，记S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=

1

1+a1

+

1

(1+a1)(1+a2)

+…+

1

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

，当n是正整数时，求证：
（1）a_n＜a_n+1；
（2）S_n＞n-2；
（3）T_n＜3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数学归纳法证明即可；
（2）由

a

2 k+1

+a_k+1-1=

a

2 k

，k=1，2，3，…，n-1（n≥2）得

a

2 n

+（a₁+a₂+…+a_n）-（n-1）=

a

2 1

，利用（1）的结论即可证明；
（3）利用放缩法由

a

2 k+1

+a_k+1=1+

a

2 k

≥2a_k，得

1

1+ak+1

≤

ak+1

2ak

（k=2，3，…，n-1，n≥3），

1

(1+a3)(1+a4)…(1+an)

≤

an

2n-2a2

（a≥3），

1

(1+a2)(1+a3)…(1+an)

≤

an

2n-2( a 2 2 +a2)

=

an

2n-2

＜

1

2n-2

（n≥3），即可得出结论．

解答： 证明：（1）用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a₂是方程x²+x-1=0的正根，所以a₁＜a₂；
②假设当n=k（k∈N*）时，a_k＜a_k+1，
因为

a

2 k+1

-

a

2 k

=（

a

2 k+2

+a_k+2-1）（

a

2 k+1

+a_k+1-1）=（a_k+2-a_k+1）（a_k+2+a_k+1+1），
所以a_k+1＜a_k+2，
即当n=k+1时，a_n＜a_n+1也成立．
根据①和②，可知a_n＜a_n+1对任何n∈N*都成立；
（2）由

a

2 k+1

+a_k+1-1=

a

2 k

，k=1，2，3，…，n-1（n≥2）
得

a

2 n

+（a₁+a₂+…+a_n）-（n-1）=

a

2 1

，
因为a₁=0，所以s_n=n-1-

a

2 n

，
由a_n＜a_n+1及a_n+1=1+

a

2 n

-2

a

2 n+1

得a_n＜1，
所以s_n＞n-2．
（3）由

a

2 k+1

+a_k+1=1+

a

2 k

≥2a_k，
得

1

1+ak+1

≤

ak+1

2ak

（k=2，3，…，n-1，n≥3），
所以

1

(1+a3)(1+a4)…(1+an)

≤

an

2n-2a2

（a≥3），
于是

1

(1+a2)(1+a3)…(1+an)

≤

an

2n-2( a 2 2 +a2)

=

an

2n-2

＜

1

2n-2

（n≥3），
故当n≥3时，T_n＜1+1+

1

2

+…+

1

2n-2

＜3，
又因为T₁＜T₂＜T₃，
所以T_n＜3．

点评：本题主要考查利用数学归纳法及放缩法证明不等式成立问题，属于数列与不等式的综合性问题，逻辑性强，属于难题．