Question

对任意的实数x恒有3sin²x-cos²x+4acosx+a²≤31，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：设y=3sin²x-cos²x+4acosx+a²=3+2a²-4(cosx-

a

2

)2，再分a∈[-2，2]时、当a＜-2时、当a＞2时三种情况，分别利用二次函数的性质求得y的最大值，再根据y的最大值小于或等于31，求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：设y=3sin²x-cos²x+4acosx+a²=3-4cos²x+4acosx+a²=3+2a²-4(cosx-

a

2

)2，
当a∈[-2，2]时，

a

2

∈[-1，1]，故当cosx=

a

2

时，函数y取得最大值为3+2a²，
再根据3+2a²≤31，求得-

14

≤a≤

14

．
当a＜-2时，

a

2

＜-1，故当cosx=-1时，函数y取得最大值为a²-4a-1，再根据a²-4a-1≤31，求得-4≤a＜-2．
当a＞2时，

a

2

＞1，故当cosx=1时，函数y取得最大值为a²-4a-1，再根据a²-4a-1≤31，求得2＜a≤4．
综上可得，a的范围为[-4，4]，
故答案为：[-4，4]．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．