Question

设函数f（x）=sin（x+

π

6

）+2sin²

x

2

．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=1，c=

3

，求b值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）首先利用三角恒等变换把函数变形成正弦型函数，进一步求出最小正周期和单调区间
（2）利用正弦定理解三角形，要进行分类讨论．

解答： 解：（1）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1
∴T=2π．
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)
得-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ(k∈Z)
所以f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ](k∈Z)．
（2）由f(A)=1，得sin(A-

π

6

)=0，故A=

π

6

．
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得sinC=

3

2

，C=

π

3

或

2π

3

．
①当C=

π

3

，B=

π

2

，从而b=

b2+c2

=2．
②当C=

2π

3

时，B=

π

6

，又A=

π

6

，从而a=b=1．
故b的值为1或2．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期及单调区间的应用，解三角形是正弦定理的应用．