Question

甲乙两位同学参加学校安排的3次体能测试，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为

1

8

的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过

1

2

，且他直到第二次测试才合格的概率为

9

32

，乙同学3次测试每次测试合格的概率均为

2

3

，每位同学参加的每次测试是否合格相互独立．
（Ⅰ）求甲同学第一次参加测试就合格的概率P；
（Ⅱ）设甲同学参加测试的次数为m，乙同学参加测试的次数为n，求ξ=m+n的分布列．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为

1

8

的等差数列，又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是p+

1

8

、p+

1

4

，由题意知，（1-p）（p+

1

8

）=

9

32

，由此能求出甲同学第一次参加测试就合格的概率．
（Ⅱ）甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是

3

8

、

1

2

，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ=m+n的分布列．

解答： 解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为

1

8

的等差数列，
又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P，
故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是p+

1

8

、p+

1

4

，
由题意知，（1-p）（p+

1

8

）=

9

32

，解得p=

1

4

或p=

5

8

（舍），
所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为

1

4

．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是

3

8

、

1

2

，
由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知
P（ξ=2）=

1

4

×

2

3

=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

4

×(

1

3

×

2

3

)+(

3

4

×

3

8

)×

2

3

=

35

144

，
P（ξ=4）=

1

4

×(

1

3

×

1

3

)+(

3

4

×

3

8

)(

1

3

×

2

3

)+(

3

4

×

5

8

)×

2

3

=

58

144

，
P（ξ=5）=（

3

4

×

3

8

）×（

1

3

×

1

3

）+（

3

4

×

5

8

）×（

1

3

×

2

3

）=

13

96

，
P（ξ=6）=(

3

4

×

5

8

)×(

1

3

×

1

3

)=

5

96

，
所以ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 6	35 144	58 144	13 96	5 96

…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．