Question

10．对于函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R），
（1）判断并证明函数的单调性；　　
（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数．证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明即可，
（2）结合函数奇偶性的定义进行证明．

解答 解：（1）函数f（x）为R上的增函数．证明如下：
函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因为y=2^x是R上的增函数，所以${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）为R上的增函数．
（2）存在实数a=1，使函数f（x）为奇函数．
证明如下：当a=1时，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
对?x∈R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
即f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．