Question

20．过原点O作斜率为k₁（k₁≠0）的直线l交抛物线Γ：y=$\frac{1}{4}$x²-1于A，B 两点，
（1）当k₁=1时，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的值；
（2）已知M（0，3），延长AM交抛物线Γ于C点，延长BM交抛物线Γ于D点．记直线CD的斜率为k₂，问是否存在实数λ，都有k₂=λk₁成立，如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，解出A，B坐标，计算|OA|，|OB|即可得出答案；
（2）联立方程组，得出A，B坐标的关系，根据三点共线得出C，D坐标与A，B坐标的关系，从而得出k₂与k₁的关系．

解答 解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，消去y得x²-4x-4=0，
解得x=y=2-2$\sqrt{2}$或x=y=2+2$\sqrt{2}$，
∴|OA|=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，|OB|=$\sqrt{2}$（2+2$\sqrt{2}$）=4+2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{|OA|}+\frac{1}{|OB|}$=$\frac{1}{4-2\sqrt{2}}+\frac{1}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{8}$+$\frac{4-2\sqrt{2}}{8}$=1．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，消去y得x²-4k₁x-4=0，
△=16k₁²+16＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=-4，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直线AM方程为y=$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}}$x+3，代入y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$-1得$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}}x-4=0$，
∴x₁x₃=-16，即x₃=-$\frac{16}{{x}_{1}}$．
同理，x₄=-$\frac{16}{{x}_{2}}$，
∴k₂=$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{1}{4}$（x₃+x₄）=$\frac{1}{4}$（-$\frac{16}{{x}_{1}}$-$\frac{16}{{x}_{2}}$）=-$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=4k₁，
∴λ=4．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．