Question

5．已知各项都为正数的等比数列{a_n}满足a₅=2a₄+3a₃，存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=27{a_1}$，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为
$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意，由等比数列的性质可得a₃q²=2a₃q+3a₃，解可得q的值，进而分析$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=27{a_1}$可得3^m-1×3^n-1=27×27，化简可得m+n=8，进而可得$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{8}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{8}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），由基本不等式的性质计算可得答案．

解答 解：根据题意，等比数列{a_n}满足a₅=2a₄+3a₃，即a₃q²=2a₃q+3a₃，
则有q²=2q+3，
解可得q=3或-1，
又由等比数列{a_n}各项都为正数，则有q＞0，
即q=3，
若$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=27{a_1}$，则有a_m•a_n=（27a₁）²，
变形可得3^m-1×3^n-1=27×27，
即m+n=8，
$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{8}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{8}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{9}{8}$，
即$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{9}{8}$，
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查基本不等式的性质的应用，涉及等比数列的通项公式，关键是求出m+n的值．